Question

在数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）设b_n=a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）设 （n=1，2，3，…），如果对任意n∈N^*，都有，求正整数t的最小值．

Answer

（I）在递推公式中依次令n=1，2，3计算求解．
（II）由已知可得，Sn=n-an，当n≥2时，S n-1=（n-1）-an-1，an=Sn-Sn-1=1-an+an-1，继而an-1=（an-1-1），所以数列{bn}是等比数列，
（III）由（Ⅱ）得bn=，=，用作差比较法判断{cn}的单调性，得出其最大值，令最大值小于，求正整数t的最小值．
（I）【解析】
由已知，a1=1-a1，a1=．a1+a2=2-a2，a2=．a1+a2+a3=3-a3，a3=．
（II）证明：由已知可得，Sn=n-an，
当n≥2时，S n-1=（n-1）-an-1，
an=Sn-Sn-1=1-an+an-1
an-1=（an-1-1），
即当n≥2时，bn=bn-1，b1=a1-1=≠0
所以数列{bn}是等比数列，其首项为，公比为．
（III）【解析】
由（Ⅱ）得bn=，
∴=
cn-cn-1=-=
∴c1＜c2＜c3=c4＞c5＞…
∴cn有最大值c3=c4=，任意n∈N*，都有，当且仅当即t＞，故正整数t的最小值是4．