Question

已知，函数f（x）=．
（I）求f（）的值；   
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间上的最值．

Answer

（I）根据向量数量积的坐标公式，结合三角函数的降次公式和辅助角公式，得f（x）==sin2x+=sin（2x-）+，代入x=即可得到f（）的值；
（II）根据函数y=sinx的单调区间的公式，令≤2x-≤，解得≤x≤，可得函数f（x）的单调增区间；
（III）根据x∈，可以计算出2x-∈，再结合正弦函数的图象可得0≤sin（2x-）+≤，由此可得f（x）在区间上的最值小值和最大值．
【解析】
（I）根据题意，得f（x）==cosx•2sinx+（1+cosx）（1-cosx）
=sin2x+1-cos2x=sin2x+=sin（2x-）+
∴f（）=sin（-）+=1+=
（II）令≤2x-≤，（其中k是整数）
可得≤x≤
∴函数f（x）的单调增区间为（，）．（k∈Z）
（III）∵x∈
∴2x-∈，可得-≤sin（2x-）≤1
因此0≤sin（2x-）+≤，f（x）在区间上的最值小值为0，最大值为