Question

设a＞2，给定数列{a_n}，
（1）求证：a_n＞2；
（2）求证：数列{a_n}是单调递减数列．

Answer

（1）由已知，得出an+1=．利用数学归纳法证明．
（2）可利用作差比较、作商比较法证明．
证明：（1）由得an+1=
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=a＞2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak＞2．
则当n=k+1时，ak+1-2==＞0，即ak+1＞2
由①②可知an＞2成立．
（2）证法一：
an+1-an==＜0，
由（1）an＞2，∴an+1＜an，
∴数列{an}单调递减．
证法二：
由（1）an＞2，==＜=1，
∴an+1＜an，
∴数列{an}单调递减．