Question

已知数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}是正项等比数列，且a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，是否存在正整数M，使得对一切n∈N^*，都有c_n≤M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当n=1时，a1=S1=-1，当n≥2时，利用an=Sn-Sn-1得到an的通项公式，把n=1代入也满足，得到即可；因为数列{bn}是各项为正的等比数列，根据a1=-b1，b3（a2-a1）=b1，即可利用等比数列的通项公式得到bn的通项；
（2）把an和bn的通项公式代入到cn=anbn中，可确定c3最大，即可得到结论．
【解析】
（1）∵数列{an}的前n项和，
∴n≥2 时，an=Sn-Sn-1=4n-4，
当n=1时，a1=S1=-1，满足上式
∴数列{an}的通项公式为an=4n-5（n∈N*）
∵数列{bn}是正项等比数列，a1=-b1，b3（a2-a1）=b1．
∴b1=1，b3=，q=
∴数列{bn}的通项公式为bn=
（2）∵cn=anbn，∴cn=
由，可得n≤2，当n≥3时，cn+1≤cn
∴c3最大，最大值为．
故存在正整数M，使得对一切n∈N*，都有cn≤M成立，M的最小值为2