Question

已知直线l₁：2x-y+6=0与y轴交于C点，直线l₂与x轴交于点A（8，0），l₁与l₂交于B点，O为坐标原点，若A、B、C、O四点共圆，则直线l₂的方程为    ，圆的方程为    ．

Answer

根据题意画出图形，如图所示，由A、B、C、O四点共圆，可得对角互补，再根据x轴与y轴垂直，得到∠AOC为直角，进而确定出∠ABC为直角，即两直线垂直，由直线l1的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线l2斜率，再由直线l2过A点，由A的坐标和求出的斜率，写出直线l2的方程即可；同时根据90°的圆周角所对的弦为直径可得AC为四点确定圆的直径，由A和C的坐标，利用线段中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，即为圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出|AC|的长，即为圆的直径，求出圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：
∵A、B、C、O四点共圆，
∴∠COA+∠ABC=180°，又∠COA=90°，
∴∠ABC=90°，即l1⊥l2，
∵直线l1的斜率为2，∴直线l2的斜率为-，
又直线l2与x轴交于点A（8，0），
∴直线l2的方程为：y=-（x-8），即x+2y-8=0，
又∠AOC为弦AC所对的圆周角，且∠AOC=90°，
∴AC为圆的直径，设D为AC的中点，即为圆心，
∵C（0，6），A（8，0），
∴点D坐标为（，），即（4，3），
又|AC|==10，
∴圆的半径为5，
则所求圆的方程为（x-4）2+（y-3）2=25．
故答案为：x+2y-8=0；（x-4）2+（y-3）2=25