(Ⅰ)由已知圆C的半径,设出圆心坐标为(a,b),写出圆C的标准方程,由圆心在直线y=x+4上,把圆心坐标代入直线方程,得到关于a与b的方程,再由圆C过原点,把原点坐标代入圆C方程,得到关于a与b的另一个方程,联立两方程可得出a与b的值,进而确定出圆C的方程;
(Ⅱ)分两种情况考虑:1′当所求直线的斜率存在时,设出所求直线的斜率为k,由直线过(0,2)和k,表示出直线的方程,利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d,同时由弦长和半径,利用垂径定理及勾股定理求出弦心距d,得出关于k的方程,发现此方程无解,故k不存在;2′当所求直线的斜率不存在时,经过验证,得到直线x=0满足条件,
综上,得到所求直线的方程为x=0.
【解析】
(Ⅰ)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
∵r=2,∴圆C:(x-a)2+(y-b)2=8,(1分)
又圆心在直线y=x+4上,且圆C过原点O,
∴,(3分)
解得:,(5分)
则所求圆的方程为:(x+2)2+(y-2)2=8;(6分)
(Ⅱ)分两种情况考虑:
1′当k存在时,设直线的方程为:y-2=kx,即kx-y+2=0,(7分)
∴圆心到直线的距离d=,(8分)
又r=2,弦长为4,
∴r2=22+d2,即d2=4,
解得:d=2,(9分)
∴=2,即|k|=,
此方程无解,故k不存在;(10分)
2′当k不存在时,经验证,直线方程为x=0,(11分)
综上,所求直线的方程为x=0.(12分)