Question

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点．
（1）求证：OC⊥DF；
（2）试问线段CE上是否存在一点P，使得OP∥平面DEF？若存在，求出CP的长度，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由ABC-FDE是由三棱柱所解得的几何体，知FA∥DB∥EC，且FA与DB确定平面ABDF，由FA⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，知FA⊥OC，由此能够证明OC⊥DF．
（2）取P为CE中点时，可使得OP∥平面DEF．再由题设条件，利用空间几何知识进行证明．
（1）证明：∵ABC-FDE是由三棱柱所解得的几何体，
∴FA∥DB∥EC，且FA与DB确定平面ABDF，
∵FA⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，∴FA⊥OC，
∵△ABC是等边三角形，且O为AB中点，
∴OC是等边△ABC中AB边上的中线，
∴AB⊥OC，
∵FA⊂平面ABDF，AB⊂平面ABDF，且FA∩AB=A，
∴OC⊥平面ABDF，
∵DF⊂平面ABDF，∴OC⊥DF．
（2）【解析】
线段CE上是存在一点P，使得OP∥平面DEF．取P为CE中点时，可使得OP∥平面DEF．
证明：取P为CE中点，O′为DF中点，连接OO′，OP，O′E（如图），
由（1）知FA∥DB∥EC，且FA≠DB，
∴四边形ABDF为梯形，
∵O，O′分别是两腰AB、DF的中点，
所以OO′是梯形BDFA的中位线，
所以OO′∥FA，且OO′=，
∵FA=2，BD=1，∴．
∵P是EC中点，所以CP=PE=，
∵FA∥EC，∴OO′∥EP，且OO′=EP，
∴OO′EP是平行四边形，∴O′E∥OP，
∵O′E⊂DEF，OP⊄面DEF，
∴OP∥面DEF，
∴P为CE中点，使得OP∥平面DEF，此时CP=．