Question

已知圆C：x²+y²=4，直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程．

Answer

分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，根据直线l过P点，由P的坐标得出直线l的方程为x=1，经验证满足题意；当直线l的斜率存在时，设出斜率为k，由P及k表示出直线l的方程，根据圆的方程找出半径r=2及圆心坐标，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，进而由弦长的一半，圆的半径r及弦心距d，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出此时直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．
【解析】
分两种情况考虑：
（i）当直线l的斜率不存在时（或直线l与x轴垂直），
由P（1，2），得到直线l为x=1，
该直线与圆x2+y2=4相交于两点A（1，），B（1，-），
满足|AB|=2，符合题意；（4分）
（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
由P（1，2），得到直线l方程为y-2=k（x-1），即kx-y+（2-k）=0，
由圆的方程x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∴圆心到直线l的距离d=，又|AB|=2，
∴d2+（）2=r2，即（）2+（）2=4，
整理得：-4k=-3，解得：k=，
此时直线l的方程为x-y+（2-）=0，即3x-4y+5=0，（11分）
综上，直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0．（12分）