Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，f（a）=4（a＞0且a≠1），
（1）求a，b的值；
（2）求的值域；
（3）求的单调区间．

Answer

（1）由f（log2a）=b，f（a）=4代入，结合a＞0且a≠1可求a，b
（2）由（1）可得，y=log2x，结合及对数函数的单调性可求函数的值域
（3）由=，结合二次函数与对数函数的单调性及复合函数的单调性可求函数的单调区间
【解析】
（1）∵f（log2a）=b，f（a）=4
∴a2-a+b=4，
∴log2a=1或log2a=0（舍）
∴a=2，b=2； 
（2）由（1）可得，y=log2x
∵
∴-1≤y≤2
故函数的值域为[-1，2]
（3）∵=
令t=x2-2x-1=（x-1）2-2，
∵函数t=x2-2x-1=（x-1）2-2对称轴x=1，则由二次函数的性质可知可得单调减区间：（-∞，1），单调递增区间：（1，+∞）
∵y=2t为单调递增函数
由复合函数的单调性可知，函数y=的单调减区间：（-∞，1）；增区间：（1，+∞）