Question

已知函数g（x）=kx+b（k≠0），当x∈[-1，1]时，g（x）的最大值比最小值大2，又f（x）=2x+3．是否存在常数k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立，如果存在，求出k，b．如果不存在，说明为什么？

Answer

先看k＞0时可分别表示出g（x）的最大和最小值，根据题意求得k；再看k＜0时表示出函数的最大和最小值，求得k，进而假设存在k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立，求得k=1时函数f[g（x）]的表达式，根据f[g（x）]=g[f（x）]求得b．同理求得k=-1时b的值，得出结论．
【解析】
①当k＞0时：g（x）在区间[-1，1]上，
g（x）max=g（1）=k+b；
g（x）min=g（-1）=-k+b
∴k+b-（-k+b）=2即：k=1
②当k＜0时：g（x）在区间[-1，1]上，
g（x）max=g（-1）=-k+b；
g（x）min=g（1）=k+b
∴-k+b-（k+b）=2即：k=-1
假设存在k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立；
当k=1时，f[g（x）]
=f（x+b）=2（x+b）+3
=2x+2b+3=g[f（x）]
=g（2x+3）
=2x+3+b
∴2x+2b+3=2x+b+3即：b=0
同理：当k=-1时，b=-6
∴存在或时，使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立