Question

已知偶函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，试问f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？请证明你的结论．

Answer

根据偶函数在对称区间上单调性相反，可得到结论，进而根据函数单调性的证明方法，任取x1＜x2＜0，根据偶函数的性质及f（x）在（0，+∞）上是增函数，判断出f（x1）与f（x2）的大小，进而根据函数单调性的定义可得结论．
【解析】
f（x）在（-∞，0）上是减函数．理由如下：
设x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0…（2分）
因 f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以 f（-x1）＞f（-x2）…（4分）
又 f（x）是偶函数，所以f（x1）＞f（x2）…（6分）
因此，f（x）在（-∞，0）上是减函数．       …（8分）