Question

将4个小球任意放入3个盒子中
（1）若小球和盒子均不同，求每个盒子中至少有一个小球的概率
（2）若小球相同，盒子不同且编号为甲、乙、丙，求恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有两球的概率
（3）若小球和盒子均相同，求每个盒子都不空的概率．

Answer

（1）先计算出4个小球任意放入3个盒子中的总的放法，由分步原理可以得出其方法种数是3×3×3×3=81，应将四个球分为三份，再作一个全排列；
（2）若小球相同，盒子不同且编号为甲、乙、丙，由于小球相同，故分组时小球只有数量上的不同，可分为四类计算，若四个小球放入同一个盒子，四个小球分为两组，四个小球分为三组，计算出总的放法，事件“恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有两球”只有一种，计算出概率
（3）若小球和盒子均相同，不同放法区别是小球分法有几种，由于小球可能四个在一起，分为两组分别为（3，1），（2，2），分为三组（2，1，1）共四种分法，即总的放法有四种，每个例子都不空的放法有一种，由公式计算出概率
【解析】
（1）若小球和盒子均不同，总的放法有3×3×3×3=81种，要保证每个盒子中至少有一个球，可将四个球分为三份，总的分法有C42=6种，然后再将此三份球分别放入三个盒子，放法有A33=6种，故每个盒子中至少有一个小球的概率概率是=
（2）由于小球相同，盒子不同且编号为甲、乙、丙，故计算总的放法可分为四类，若四个小球放入同一个盒子，有三种放法，四个小球分为两组放入，分法有二，若一组三个，一组一个，则放法有A33=6种，若分两组各2个，由于两组之间没有区别，故放法有三种，若四球分为三组，则不同放法有三种，故总的放法有3+6+3+3=15种，恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有两球的放法有一种，故恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有两球的概率为
（3）若小球和盒子均相同，不同放法区别是小球分法有几种，由于小球可能四个在一起，分为两组分别为（3，1），（2，2），分为三组（2，1，1）共四种分法，即总的放法有四种，每个例子都不空的放法有一种，故小球和盒子均相同，求每个盒子都不空的概率是