Question

设a、b、c都是整数，过圆x²+y²=（3a+1）²外一点P（b³-b，c³-c）向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（所谓格点是指：横、纵坐标都是整数的点）．

Answer

由P和原点O的坐标，利用中点坐标公式求出线段OP的中点坐标，再利用两点间的距离公式求出此中点到原点的距离，得到以OP为直径的圆的圆心坐标和半径，写出以OP为直径的圆的方程，记作（1），把已知圆x2+y2=（3a+1）2代入（1），整理后得到（b3-b）x+（c3-c）y=（3a+1）2，即为过P作的两条切线的方程，假设此切线方程有格点，把b3-b及c3-c弦利用提取公因式的方法分解因式，再利用平方差公式分解因式后，得到两式都为三个连续数的乘积，显然能被3整除，可得（3a+1）2能被3整除，即3a+1能被3整除，而3a+1不能被3整除，矛盾，假设错误，故过这两切点的直线上的任意一点都不是格点，得证．
【解析】
∵P（b3-b，c3-c），O（0，0），
∴线段OP的中点的坐标为（（b3-b），（c3-c）），
∴以OP为直径的圆的方程为：[x-（b3-b）]2+[y-（c3-c）]2=（b3-b）2+（c3-c）2，（1）
将x2+y2=（3a+1）2代入（1）得：（b3-b）x+（c3-c）y=（3a+1）2，它就是过两切点的直线方程，
假设此切线方程存在格点，
由b3-b=b（b-1）（b+1），得到它为三个连续数的乘积，显然能被3整除，
同理，c3-c亦能被3整除，
∴（3a+1）2能被3整除，
∴3a+1也必须能被3整除，
显然这是不可能的，
则过这两切点的直线上的任意一点都不是格点．