Question

在平面直角坐标系xoy中，点B与点A（0，2）关于原点O对称，P是动点，AP⊥BP．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m与曲线C交于M、N两点，
ⅰ）若，求实数m取值；
ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer

（I）根据点B与点A（0，2）关于原点O对称，得出B（0，-2）．如图，由于AP⊥BP，得出动点P的轨迹C是以O为圆心，2为半径的圆，最后写出动点P的轨迹C的方程；
（II）i）设直线l：y=x+m与曲线C交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，将直线的方程代入圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．
ii）若点A在以线段MN为直径的圆内，则∠MAN＞90°，即，同i）理，即可求出实数m的取值范围．
【解析】
（I）∵点B与点A（0，2）关于原点O对称，
∴B（0，-2）．如图，
∵AP⊥BP，
∴在直角三角形AOB中，OP=AB=4=2，
∴动点P的轨迹C是以O为圆心，2为半径的圆，
它的方程为x2+y2=4．
（II）
i）设直线l：y=x+m与曲线C交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，
联立方程组，得2x2+2mx+m2-4=0，
则x1+x2=-m，x1x2=（m2-4），
且△=（2m）2-4×2（m2-4）≥0⇔≤m≤2．
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=（m2-4）+m（-m）+m2=（m2-4），
∵，∴x1x2+y1y2=-1，
即m2-4=-1，∴m=±．
ii）若点A在以线段MN为直径的圆内，则∠MAN＞90°，
即，
即（x1，y1-2）•（x2，y2-2）＜0，
x1x2+y1y2-2（y1+y2）+4＜0
从而有：（m2-4）+（m2-4）-2（-m+2m）+4＜0
∴0＜m＜2．