Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数且a≠0）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=1-2f（x）（x＞1）的反函数为g^-1（x），若g^-1（2^2x）＞m（3-2^x）对x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先由f（1-x）=f（1+x）得函数对称轴，再由方程f（x）=x有等根，得方程f（x）=x的判别式等于零，最后解方程即可；
（2）由（1）得出g（x）的解析式，再将x用y表示，最后交换x、y，即可求出反函数的解析式，从而得1+2x＞m（3-2x）对x∈[1，2]恒成立，t=2x，转化成关于t的一次函数恒成立问题，根据函数在[2，4]上的单调性建立不等式，从而求出所求．
【解析】
（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴函数的对称轴为x=1，即=1
∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b-1）2=0
∴b=1，a=-
∴．
（2）由（1）得g（x）=x2-2x+1，
当x＞1时，y=（x-1）2＞0⇒x=1+⇒g-1（x）=1+（x＞0），
∵g-1（22x）＞m（3-2x）对x∈[1，2]恒成立，
即1+2x＞m（3-2x）对x∈[1，2]恒成立，
令t=2x，则（m+1）t+1-3m＞0，对t∈[2，4]恒成立，
∴
⇒-5＜m＜3．