Question

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（）的值；
（2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式f（x²）＞f（8x-6）-1．

Answer

（1）由题条件知若能求出f（1）的值，再由1=2×即可得到求得f（）的值；
（2）题设中有x＞1时，f（x）＞0，故可令0＜x1＜x2，由的恒等变形及题设中的恒等式得到f（x1）+f（）=
f（x2），由此问题得证．做此题时要注意做题步骤，先判断再证明；
（3）由（2）的结论，利用单调性直接将抽象不等式转化为一般不等式求解即可
【解析】
（1）令x=y=1，则可得f（1）=0，
再令x=2，y=，得f（1）=f（2）+f（），故f（）=-1
（2）设0＜x1＜x2，则f（x1）+f（）=f（x2）
即f（x2）-f（x1）=f（），
∵＞1，故f（）＞0，即f（x2）＞f（x1）
故f（x）在（0，+∞）上为增函数
（3）由f（x2）＞f（8x-6）-1得f（x2）＞f（8x-6）+f（）=f[（8x-6）]，
故得x2＞4x-3且8x-6＞0，解得解集为{x|＜x＜1或x＞3}．