Question

已知方程x²+y²-2mx-4y+5m=0的曲线是圆C
（1）求m的取值范围；
（2）当m=-2时，求圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长；
（3）若圆C与直线2x-y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，求m的值｡

Answer

（1）圆的方程化为标准形式，利用右侧大于0，即可求m的取值范围；
（2）当m=-2时，通过弦心距，半径，半弦长满足勾股定理，求圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长；
（ 3）若圆C与直线2x-y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，得到，设M（x1，y1），N（x2，y2），推出x1x2+y1y2=0，联立，推出x1x2+y1y2=5x1x2+2（x1+x2）+1=0，求m的值｡
解（1）方程x2+y2-2mx-4y+5m=0化为：（x-m）2+（y-2）2=m2-5m+4m2-5m+4
方程表示圆的方程，所以m2-5m+4m2-5m+4＞0  
解得：m＜1或m＞4；
（2）设m=-2，圆心为C（-2，2），半径R=3，
圆心到直线的距离为，
圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长为：；
（3）以MN为直径的圆过坐标原点O，
即OM⊥ON
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2+y1y2=0
由
整理得 5x2-（2m+4）x+5m-3=0，
，
x1x2+y1y2=5x1x2+2（x1+x2）+1=0，

经检验，此时△=（2m+4）2-20（5m-3）＞0
∴