Question

设f（x）是定义在R上的函数，对任意m、n∈R恒有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）求证：f（x）在R是减函数；
（3）解不等式．

Answer

（1）根据已知中对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，易得f（0）=0，令y=-x，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）根据当x＞0时，f（x）＜0，结合（1）中结论，及函数单调性的定义可得答案．
（3）根据（1）（2）的结论及f（1）=-2，我们可将不等式，转化为一个关于x的分式不等式，解答可得答案．
证明：（1）∵对任意的m、n∈R恒有f（m+n）=f（m）+f（n），①
令m=n=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0）（2分）
∴f（0）=0
令n=-m得，f（m-m）=f（m）+f（-m）=f（0）=0，（1分）
即f（-m）=-f（m）
即f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数（3分）
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），
∴f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）=f（x2）-f（x1）．
∵当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x2-x1）=f（x2）-f（x1）＜0．
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）是R上的减函数．
（3）∵f（1）=-2
∴f（2）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-4-2=-6，
则不等式可化为
由（2）中f（x）是R上的减函数
∴
即，
即
解得：x∈（0，1]∪[3，+∞）