Question

已知数列是等比数列，且a_n＞0，a₁=2，a₃=8，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：；
（3）设b_n=2log₂a_n+1，求数列{b_n}的前100项和．

Answer

（1）设等比数列{an}的公比为q．由等比数列的通项公式可求q，进而可求通项
（2）利用等比数列的求和公式可求=，由可证
（3）由=2n+1可知数列为等差数列，由等差数列的求和公式可求
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q．
则由等比数列的通项公式得，
∴q2=4
又an＞0
∴q=2--------（2分）
∴数列{an}的通项公式是--------（3分）．
（2）
=
==--------（6分），
∵n≥1
∴--------（7分），
∴＜1--------（8分）．
（3）由=2n+1--------（9分），
又bn-bn-1=2n+1-[2（n-1）+1]=2
∴数列{bn}是以3为首项，2为公差的等差数列--------（11分），
∴数列{bn}的前100项和是--------（12分）．