Question

函数f（x）定义在实数集R上，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0则f（x）（ ）
A．奇函数且在R上是单调增函数
B．奇函数且在R上是单调减函数
C．偶函数且在R上是单调减函数
D．偶函数且在R上不是单调函数

Answer

先判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；再依据函数单调性的定义判断函数的单调性，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＜0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定单调性．
【解析】
显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．
又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＜0
∴f（x2）+f（-x1）＜0；
对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x2）-f（x1）＜0
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在R上递减．
故选B．