Question

已知直线与椭圆交于P，Q两点．
（1）设PQ中点M（x，y），求证：
（2）椭圆C的右顶点为A，且A在以PQ为直径的圆上，求△OPQ的面积（O为坐标原点）．

Answer

（1）设出交点坐标，再联立直线与椭圆的方程并且整理可得：（4a2+1）x2-4a2x+2a2=0，再利用根与系数的关系表示出中点的横坐标，进而得到答案．
（2）由题意可得：•=0，即（x1-a）（x2-a）+y1y2=0，因为点在直线上，所以可得5，再由（1）可得关于a的方程，进而结合题意求出a的值．联立，得，由弦长公式得=，由点到直线距离公式，得坐标原点O到直线y=2x-的距离d=，由此能求出△OPQ的面积．
（1）证明：设直线与椭圆交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，由题意可得：右顶点A（a，0），
将y=2x-代入x2+a2y2-a2=0中整理得（4a2+1）x2-4a2x+2a2=0，
所以根据根与系数，
∵M（x，y）为PQ中点，
∴x===-，
所以x＜
（2）【解析】
因为以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以•=0，即（x1-a）（x2-a）+y1y2=0，
 又因为y1=2x1-，y2=2x2-
所以（x1-a）（x2-a）+（2x1-）（2x2-）=0，
整理可得：5，…③
 将①②代入③得：4a4-4a3-a2+3=0
∴（a-）（4a2-a-）=0，
∵a＞1，则4a2-a-＞0，
所以a=，所以椭圆方程为+y2=1．
联立，
消去y，并整理得，
∴，，k=2，
∴=，
坐标原点O到直线y=2x-的距离d=，
∴△OPQ的面积S==．