Question

二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2a）x-f（x），若g（x）在区间[0，2]上的最大值是5，求实数a的值．

Answer

（1）根据其顶点坐标用顶点式二次函数通式设抛物线的解析式，然后根据图象在x轴上截得线段长是8，求得图象与x轴交于（-3，0）和（5，0）两点，代入抛物线中即可求得二次函数的解析式；
（2）先求出函数的解析式，确定函数的对称轴，再结合函数的定义域进行分类讨论，利用g（x）在区间[0，2]上的最大值是5，可求实数a的值．
【解析】
（1）∵二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），
∴设二次函数解析式为f（x）=a（x-1）2+16．
又∵图象在x轴上截得线段长是8，
∴图象与x轴交于（-3，0）和（5，0）两点．
∴a（-3-1）2+16=0，
∴a=-1，
∴所求二次函数解析式为f（x）=-x2+2x+15
（2）g（x）=（2-2a）x-f（x）=（2-2a）x-（-x2+2x+15）=x2-2ax-15=（x-a）2+-a2-15
①a≥2时，g（x）在区间[0，2]上为单调减函数，∴x=0时，取得最大值，
∵g（0）=-15，不合题意；
②1＜a＜2时，g（x）在区间[0，a]上为单调减函数，在[a，2]上为单调减函数，a-0＞2-a，
∴x=0时，取得最大值，
∵g（0）=-15，不合题意；
③0≤a≤1，时，g（x）在区间[0，a]上为单调减函数，在[a，2]上为单调减函数，a-0≤2-a，
且x=2时，取得最大值，
∵g（2）=4-4a-15，∴4-4a-15=5，∴a=-4，不合题意；
④a＜0时，g（x）在区间[0，2]上为单调增函数，∴x=2时，取得最大值，
∵g（2）=4-4a-15，∴4-4a-15=5，∴a=-4，符合题意；
综上知，实数a的值为-4．