Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设各项均不为0的数列{b_n}中，所有满足b_i•b_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{b_n}的变号数，令（n∈N^*），求数列{b_n}的变号数．

Answer

（Ⅰ）由题意可知a=0或a=4．再结合题设条件可知a=4，即f（x）=x2-4x+4．
（Ⅱ）结合题设条件由数列的性质知，由题设可得，由此入手能够求出
数列{bn}的变号数．
【解析】
（Ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素
∴△=a2-4a=0解得a=0或a=4
当a=0时函数f（x）=x2在（0，+∞）递增，不满足条件②
当a=4时函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②
综上得a=4，即f（x）=x2-4x+4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=n2-4n+4=（n-2）2
当n=1时，a1=S1=1
当n≥2时an=Sn-Sn-1=（n-2）2-（n-3）2=2n-5
∴
由题设可得
∵b1=-3＜0，b2=1+4=5＞0，b3=-3＜0，
∴i=1，i=2都满足bi•bi+1＜0
∵当n≥3时，＞0
即当n≥3时，数列{bn}递增，
∵＜0，由⇒n≥5，
可知i=4满足bi•bi+1＜0
∴数列{bn}的变号数为3．