Question

已知函数f（x）=x²+2（a-1）x+2，其中a∈R，a＜0．
（1）求证：函数f（x）在区间（-∞，1）上是减函数；
（2）若函数f（x）在区间[1，5]上的最小值为f（5），求实数a的取值范围．

Answer

（1）在（-∞，1）上任取x1，x2，且x1＜x2，利用定义法得到f（x1）-f（x2）＞0，故函数f（x）在区间（-∞，1）上是减函数．
（2）函数f（x）的对称轴是x=1-a，由f（x）在区间[1，5]上的最小值是f（5），得a≤-4，由此能求出a的取值范围．
（1）证明：在（-∞，1）上任取x1，x2，且x1＜x2，
-
=（x1-x2）[x1+x2+2（a-1）]，
∵a＜0，
∴x1＜x2＜1＜1-a，
∴x1-x2＜0，x1+x2+2（a-1）＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
故函数f（x）在区间（-∞，1）上是减函数．
（2）【解析】
函数f（x）的对称轴是x=1-a，
∵f（x）在区间[1，5]上的最小值是f（5），
∴1-a≥5，得a≤-4，
∵a＜0，
∴a的取值范围是a∈（-∞，-4]．