Question

已知函数f （x）=x （1+x）²．
（1）求实数a，b的值，使函数在区间[a，b]上的值域也为[a，b]；
（2）设函数g （x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在区间[1，2]上恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）由函数在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，可得a，b即为方程f （x）=x的解，解方程f （x）=x可得实数a，b的值；
（2）由函数g （x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在区间[1，2]上恒成立，可得kx≤f（x）+2在区间[1，2]上恒成立，即k≤[f（x）+2]÷x在区间[1，2]上恒成立，构造函数h（x）=[f （x）+2]÷x，求出其在区间[1，2]上的最小值后可得k的取值范围．
解（1）由题意知，f（a）=a且f（b）=b，
a，b即为方程f（x）=x的解，
即    x（1+x）2=x，
解得x1=0，x2=-2．
当-2≤x≤0时，检验知符合题意．
∴a=-2，b=0．
（2）g（x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在区间[1，2]上恒成立
kx≤f（x）+2在区间[1，2]上恒成立，
∴k≤在区间[1，2]上恒成立
令h（x）=  
则h′（x）=2x+2-=＞0恒成立
即h（x）在区间[1，2]上为增函数
故当x=1时，h（x）取最小值6
∴k的取值范围是k≤6