Question

已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为α﹑β，则cos²α+cos²β=1．若把它推广到空间长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C与平面A₁B、A₁C₁、A₁D所成的角分别为α、β、γ，则    ．

Answer

由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据平面性质可以类比推断出空间性质，我们易得答案．
【解析】
有如下命题：长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面A1B、A1C1、A1D所成的角分别为α、β、γ，则 sin2α+sin2β+sin2γ=1…（4分）
证明：如图，对角线A1C与平面A1B所成的角为∠CA1B=α，
在直角三角形CA1B中，
∵，
同理：，…（10分）
∴…（13分）．
故答案为：sin2α+sin2β+sin2γ=1．