Question

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数且为增函数，f（1）=1．
求（1）f（0）的值；
（2）解不等式f（x+）＜f（1-x）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数可得f（0）=0；
（2）由即可求得不等式f（x+）＜f（1-x）的解集；
（3）先求得f（x）max=f（1）=1，将问题转化为：t2-2at+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，构造函数f（a）=-2ta+t2，则f（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，解关于t的不等式组即可．
【解析】
（1）∵f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0；…2（分）
（2）∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数且f（x+）＜f（1-x），
∴…5（分）
∴…7（分）
∴0≤x＜，
∴解集为：{x|0≤x＜}…8（分）
（3）f（x）max=f（1）=1…9（分）
f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]恒成立，则t2-2at+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，…10（分）
构造函数f（a）=-2ta+t2，则f（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，
∴或或t=0…13（分）
解得：t≤-2或t=0或t≥2…14（分）