Question

已知函数，
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）证明：f（x）＞0．

Answer

（1）由2x-1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（-x）=（）（-x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数． 
（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞2=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，-x＞0，故f（-x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．
【解析】
（1）该函数为偶函数．
由2x-1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）
f（-x）=（）（-x）=-（+）x
=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）
故该函数为偶函数．   …（7分）
（2）证明：任取x∈{x|x≠0}
当x＞0时，2x＞2=1且x＞0，
∴2x-1＞0，
故
从而…（11分）
当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）＞0，…（12分）
又因为函数为偶函数，
∴f（x）=f（-x）＞0，…（13分）
∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）