Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处取得极小值-2．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若对任意的μ∈（0，+∞），函数f（x）的图象C₁与函数y=f（x+μ）-v的图象C₂至多有一个交点．求实数v的范围．

Answer

（I）由函数f（x）=x3+bx2+cx，知f′（x）=3x2+2bx+c，由函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处取得极小值-2，解得b=0，c=-3．由此能求出f（x）的单调区间．
（II）y=f（x+μ）-v=（x-μ）3-3（x-μ）-v，由方程组，得3μx2+3μ2x+μ3-3μ-v=0至多有一个实根．由此能求出实数v的范围．
【解析】
（I）∵函数f（x）=x3+bx2+cx，
∴f′（x）=3x2+2bx+c，
∵函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处取得极小值-2，
∴，
解得b=0，c=-3．…3 分
∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2-3=3（x-1）（x+1），
∴当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴（-∞，-1），（1，+∞）是单调递增区间，（-1，1）是单调递减区间．…6 分
（II）y=f（x+μ）-v
=（x-μ）3-3（x-μ）-v，
由方程组，
得3μx2+3μ2x+μ3-3μ-v=0至多有一个实根，…8 分
∴△=9μ4-12μ（μ3-3μ-v）≤0，
∴-μ3+12μ+4v≤0，
∴当u＞0时恒成立．…10 分
令，
则
=，
由此知函数g（μ）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
所以当μ=2时，函数g（μ）取最小值，即为-4，于是v≤-4．…13 分