Question

若函数是奇函数，且函数f（2x+1）=sin（ωx）（0＜ω＜4）过g（x）图象的对称点，则函数f（x）的周期为    ．

Answer

由函数g（x+1）是奇函数，根据奇函数的性质可得函数关于原点对称，进而确定出g（x）对称点为（-2，0），将（-2，0）代入f（2x+1）=sin（ωx），由ωx=kπ（k为整数），根据ω的范围确定出ω的值，设t=2x+1，确定出f（t）的解析式，即为f（x）的解析式，利用周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期．
【解析】
∵函数g（x+1）是奇函数，
∴函数g（x+1）的对称点为（0，0），
∴g（x）的对称点为（-2，0），
∴f（2x+1）=sin（ωx）过（-2，0），
代入得：f（-3）=sin（-2ω）=-sin2ω=0，即sin2ω=0，
∴2ω=kπ（k∈Z），即ω=，又0＜ω＜4，
∴ω=π或ω=，
设t=2x+1，则x=，
∴f（t）=sin（t-），即f（x）=sin（x-），
∴T=4或8，
则f（x）的最小正周期是4．
故答案为：4