Question

已知：偶函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论．

Answer

直接利用偶函数的性质：在关于原点对称的区间上单调性相反即可得出其在（-∞，0）上的单调性；再利用函数单调性的定义证明结论即可．
【解析】
因为偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
故f（x）在（-∞，0）是减函数．
证明如下：若-∞＜x1＜x2＜0，那么0＜-x2＜-x1＜+∞．
由于偶函数在（0，+∞）上是增函数，故有：f（-x2）＜f（-x1）
又根据偶函数的性质可得：f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2）
综上可得：f（x1）＞f（x2）
故f（x）在（-∞，0）上是减函数