Question

各项都为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n，数列{c_n}满足，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n为偶数时，求T_n；
（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的T_n设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．

Answer

（I）由题意及2（Sn+1）=an2+an（n∈N*），令n=1，求得数列的首项，再利用已知数列的前n项和与通项之间的关系，即可求出数列的通项；
（II）数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn（n∈N*），可以求出数列bn的通项公式，再有数列{cn}满足，利用分组求和求出数列cn的前n项的和；
（III）由题意及（2）可知n为偶数，即，由于dn+2-dn=2n+2-47分析该式即可．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，由，解得a1=2，
当n≥2时，由，得．
两式相减，并利用an=Sn-Sn-1，求得an-an-1=1．
∴数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列．∴an=n+1（n∈N*）．
（Ⅱ）∵{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴．
当n为偶数时，==．
（Ⅲ）∵（n为偶数），设（n为偶数），
∴d4＜d6＜d8＜d10＜2007＜d12＜d14＜…．且d2＜2007，（利用数列的单调性或函数的单调性判断）
∴dn≠2007，即Tn-Pn≠2007（n为偶数）．
因此同学乙的观点正确．