Question

已知x，y满足，则函数z=|x+y-10|的最大值与最小值之和为    ．

Answer

先根据条件画出可行域，设z=|x+y-10|=，再利用几何意义是点到直线的距离求最值，只需求出可行域内的点到直线x+y-10=0的距离的最值，从而得到z最值即可．
【解析】
先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分．
其下边办界是抛物线：，
上边界是椭圆的一部分：．
z=|x+y-10|=，
设平行于直线x+y-10=0的直线的方程为x+y+m=0，
①由得25x2+32mx+16m2-9×16=0，
由△=0，得m=±5，
∵当平行于直线x+y-10=0的直线x+y-5=0和椭圆相切时，
切点到直线x+y-10=0的距离最小，最小为×=5，
∴目标函数z=|x+y-10=0|的最小值是5，
②由得，
由△=0，得m=5，
当平行于直线x+y-10=0的直线x+y+5=0和抛物线相切时，
切点到直线x+y-10=0的距离最大，最大为××=15，
∴目标函数z=|x+y-10|的最大值是15，
则函数z=|x+y-10|的最大值与最小值之和为 20
故答案为：20．