Question

奇函数f（x）在R上为减函数，若对任意的实数x，不等式f（kx）+f（-x²+x-2）＞0恒成立，则实数k的取值范围为    ．

Answer

由题设知kx＜x2-x+2，故x2-（1+k）x+2＞0，由y=x2-（1+k）x+2开口向上，知要使x2-（1+k）x+2＞0，只需△=[-（1+k）]2-8＜0，即k2+2k-7＜0，由此能求出实数k的取值范围．
【解析】
∵奇函数f（x）在R上为减函数，
若对任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）＞0恒成立，
∴f（kx）＞-f（-x2+x-2）
∴f（kx）＞f（x2-x+2）
∴kx＜x2-x+2
∴x2-（1+k）x+2＞0，
∵y=x2-（1+k）x+2开口向上，
∴要使x2-（1+k）x+2＞0恒成立，
只需△=[-（1+k）]2-8＜0，
整理，得k2+2k-7＜0，
解得-2-1＜k＜2-1．
∴实数k的取值范围是（）．
故答案为：（）．