Question

在数列{a_n}中，如果存在非零常数T，使得a_m+T=a_m对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期，已知数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N），如果x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期最小时，该数列的前2008项和是（ ）
A．669
B．670
C．1338
D．1339

Answer

由xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*），且x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），x3=|x2-x1|=|1-a|．对进行分类讨论，得到当a=1时，数列{xn}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它满足：xm+3=xm，即最小周期为3，它从第一项起，每三项之和为1+1+0=2，再由，能求出数列的前2008项和．
【解析】
∵xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*），
且x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），
∴x3=|x2-x1|=|1-a|，
当a≥1时，有：x3=a-1，
x4=|x3-x2|=|（a-1）-a|=1=x1，
x5=|x4-x3|=|1-（a-1）|=|2-a|，
①当a≤2时，有：x5=2-a
此时，若x5=x2，即：2-a=a，则：a=1
就有：
x1=x4=1，
x2=x5=1，
x3=0
则，数列{xn}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它满足：
xm+3=xm，即最小周期为3
②当a＞2时，有：x5=a-2，
此时，若x5=x2，即：a-2=a，显然是不可能的．
（2）当a＜1时，有：x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a，
x4=|x3-x2|=|（1-a）-a|=|1-2a|
①当0＜a≤时，有：x4=1-2a，
x5=|x4-x3|=|（1-2a）-（1-a）|=|a|=a=x2，
此时，若x4=x1，即：1-2a=1，则：a=0
与已知矛盾，不符合条件．
②当＜a＜1时，有：x4=2a-1，
x5=|x4-x3|=|（2a-1）-（1-a）|=3|a-1|=3（1-a）
此时，若x3=x1，即：1-a=1，则a=0，这与a≠0相矛盾．
若x4=x1，即：2a-1=1，则a=1，这与a＜1相矛盾．
若x5=x1，那么即使其成立，其周期为4，也大于前面求出的最小周期3，也可以不考虑．
③当a＜0时，有：x4=1-2a，
x5=|x4-x3|=|（1-2a）-（1-a）|=|-a|=-a，
同样存在上述②的情况．
综上：当a=1时，数列{xn}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，
它满足：xm+3=xm，即最小周期为3，
它从第一项起，每三项之和为1+1+0=2，则：，
∴数列的前2008项和S2008=669×2+1=1339．
故选D．