Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-3，-2]上递减，α，β是锐角三角形的两个内角且α≠β，则下列不等式正确的是（ ）
A．f（sinα）＞f（cosβ）
B．f（sinα）＜f（cosβ）
C．f（sinα）＞f（sinβ）
D．f（cosα）＞f（cosβ）

Answer

由条件f（x+1）=-f（x），得到f（x）是周期为2的周期函数，由f（x）是定义在R上的偶函数，在[-3，-2]上是减函数，根据偶函数的对称性可知f（x）在[2，3]的单调性，根据周期性进而可知函数f（x）在[0，1]上单调性，再由α，β是锐角三角形的两个内角，得α＞90°-β，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，从而可求
【解析】
∵f（x+1）=-f（x）
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）即f（x）是周期为2的周期函数．
∵y=f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-x）=f（x）
∵f（x）在[-3，-2]上是减函数
根据偶函数的对称性可知函数f（x）在[2，3]上是增函数
根据函数的周期可知，函数f（x）在[0，1]上是增函数，
∵α，β是锐角三角形的两个内角
∴α+β＞90°，α＞90°-β，
∴1≥sinα＞sin（90°-β）=cosβ≥0
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故选 A