Question

已知函数f（x） 是（-∞，+∞） 上的奇函数，且f（x） 的图象关于x=1 对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则f（2009）+f（2010）的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

Answer

由已知中函数f（x） 是（-∞，+∞） 上的奇函数，且f（x） 的图象关于x=1 对称，我们可以证得函数f（x） 是周期为4的周期函数，再由x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，我们易求出f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=1，进而求出f（2009）+f（2010）的值．
【解析】
∵函数f（x） 是（-∞，+∞） 上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
又∵f（x） 的图象关于x=1 对称，
∴f（2-x）=f（x）
∴f（x-2）=-f（x）
∴f（x-4）=f（x），
即函数f（x） 是周期为4的周期函数
又∵x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，
∴f（0）=0，f（1）=1，进而f（2）=0，f（3）=1
∴f（2009）+f（2010）=f（1）+f（2）=1
故选D