Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a₁•a₂•a₃…a_k为正整数的k（k∈N*）叫做“和谐数”，则在区间[1，2010]内所有的“和谐数”的和为（ ）
A．2048
B．4096
C．2026
D．4083

Answer

利用an=logn+1（n+2），化简a1•a2•a3…ak，得k=2m-2，给m依次取值，可得区间[1，2010]内所有和谐数，然后求和．
【解析】
an=logn+1（n+2），
∴由a1•a2…ak为整数得1•log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，
设log2（k+2）=m，则k+2=2m，
∴k=2m-2； 因为211=2048＞2010，
∴区间[1，2010]内所有和谐数为：22-2，23-2，24-2，…，210-2，
其和M=22-2+23-2+24-2+…+210-2=2026．
故选C．