Question

设F₁、F₂分别是椭圆E：的左、右焦点，过F₁且斜率为k的直线l与E相交于A、B两点，且|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列．
（1）若a=1，求|AB|的值；
（2）若k=1，设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求椭圆E的方程．

Answer

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），左焦点（-c，0），则直线l：y=x+c，由题意得
|AF2|+|BF2|=2|AB|，由椭圆的性质能导出|AB|+2|AB|=4a，再由a=1，能求出|AB|的值．
（2）由PA=PB，知（x1+1）2+y12=（x2+1）2+yy22，所以（x1-x2）（x1+x2+2）+（y1-y2）（y1+y2）=0．把y=x+c代入，得（x1-x2）（x1+x2+2）+[（x1+c）-（x2+c）][（x1+c）+（x2+c）]=0，从而导出（-）+1+c=0，再由e==，能推导出椭圆方程．
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），左焦点（-c，0），
则直线l：y=x+c
由题意得
|AF2|+|BF2|=2|AB|，
∵|AF1|+|AF2|=2a，①
|BF1|+|BF2|=2a，②
①+②得
（|AF1|+|BF1|）+（|AF2|+|BF2|）=4a，
即|AB|+2|AB|=4a，
∵a=1，
∴|AB|=．
（2）∵PA=PB，
∴（x1+1）2+y12=（x2+1）2+yy22，
∴（x1+1）2-（x2+1）2+y12-y22=0
（x1-x2）（x1+x2+2）+（y1-y2）（y1+y2）=0    
把y=x+c代入，得
（x1-x2）（x1+x2+2）+[（x1+c）-（x2+c）][（x1+c）+（x2+c）]=0，
（x1-x2）（x1+x2+2）+（x1-x2）（x1+x2+2c）=0
（x1-x2）[2（x1+x2）+2+2c]=0
∵x1≠x2，即x1-x2≠0
∴2（x1+x2）+2+2c=0
∴x1+x2+1+c=0
即（-）+1+c=0，
∵e==，即a2=2c2
代入上式，得
c=3
∴a2=18，b2=9
椭圆方程为．