Question

直线l经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，如果|PF|=2，|QF|=8，M为RS的中点，则|MF|的值为    ．

Answer

根据题意作出辅助线：取PQ中点N，连接MN、MP、MQ，结合抛物线的定义在梯形PQSR中证明MN=|PQ|，从而得出三角形PQM是直角三角形，再通过边角边证明出
△MPR≌△MPF，从而MF是Rt△PMQ斜边上的高，最后可以用射影定理得出MF|2=8×2=16，从而得出线段MF的长度．
【解析】
如图，取PQ中点N，连接MN、MP、MQ，根据抛物线的定义可得
|PF|=|PR|，|QF|=|QS|，
∴MN=（|PR|+|SQ|）=|PQ|
∴△PQM是以PQ为斜边的直角三角形
∵MN∥PR
∴∠RPM=∠NMP
∵|MN|=|NP|，∠NMP=∠FPM
∴△MPR≌△MPF（边角边）
∴∠MRP=∠PFM=90°即MF⊥PQ
在Rt△PMQ中，MF是斜边上的高，根据射影定理得：
|MF|2=|PF|•|QF|⇒|MF|2=8×2=16
∴|MF|=4（舍负）
故答案为：4