Question

已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）求抛物线方程及准线方程；
（2）若点M（2，0）在AB上，求x₁x₂、y₁y₂的值．

Answer

（1）设抛物线的方程为y2=2px．由点P（1，2）在抛物线上，求出p=2．由此能求出抛物线的方程和准线方程．
（2）设AB的方程为y=k（x-2），由得k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，由此能求出x1x2和y1y2的值．
【解析】
（1）由已知条件，
可设抛物线的方程为y2=2px．
∵点P（1，2）在抛物线上，
∴22=2p×1，解得p=2．
故所求抛物线的方程是y2=4x，
准线方程是x=-1．
（2）∵点M（2，0）在AB上，
∴当直线AB的斜率k存在时，设AB的方程为y=k（x-2），
由，消去y，得k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，
∴，，
y1y2=k（x1-2）•k（x2-2）
=k2x1x2-2k2（x1+x2）+4k2
=8k2
=-8．
当直线AB的斜率k不存在时，直线AB的方程为：x=2，
它与抛物线y2=4x交于A（2，2），B（2，-2），
x1x2=2×2=4，y1y2=2=-8．
综上所述：x1x2=4，y1y2=-8．