Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．则|AC|的取值范围为    ．

Answer

由已知中f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，由点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．利用函数在极值点处的导数值为0，可得c=0，进而可设A（α，0），C（β，0），根据韦达定理可求出α，β与a，b，c，d的关系式，将x=2代入后再利用韦达定理求出A，C的距离，据②的结论可求出|AC|的最值，进而得到|AC|的取值范围．
【解析】
①由可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax2+2bx+c，
故c=0
②令f′（x）=0，则3ax2+2bx=0，
解得  x1=0，x2=．
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
得解得．
③由题意，可设A（α，0），C（β，0），
则由题意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x3-（2+α+β）x2+（2α+2β+αβ）x-2αβ]=ax3+bx2+cx+d
则，解得
又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），

从而  =
∵
∴当时，|AC|max=；当时，|AC|min=3．
所以3≤|AC|≤
故答案为：