Question

已知函数f（x）=log_a（a-a^x）（a＞1）
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）判断f（x）的单调性，并证明．

Answer

（1）由题得：a-ax＞0，由a＞1并且结合指数函数的性质可得：x＜1，由0＜a-ax＜a，并且a＞1，由对数函数的性质得到loga（a-ax）＜1，进而得到函数的定义域与值域．
（2）减函数．由函数的解析式可得：f′（x）=，再结合题中的条件得到函数的导数小于0，进而根据导数的意义得到函数的单调性．
【解析】
（1）由题意可得：a-ax＞0，即ax＜a，
∵a＞1，
∴由指数函数的性质可得：x＜1，
∴函数f（x）的定义域为：（-∞，1）．
∵0＜a-ax＜a，并且a＞1，
∴loga（a-ax）＜1，
∴函数f（x）的值域为：（-∞，1）．
（2）减函数．
证明：∵函数f（x）=loga（a-ax），
∴f′（x）=，
∵a-ax＞0，-ax＜0，
∴f′（x）=＜0，
∴f（x）在定义域内是单调减函数．