Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于点F（如图1）． 将△ABD沿BD折起，二面角A-BD-C的大小记为θ（如图2）．
（Ⅰ）求证：面AEF⊥面BCD；面AEF⊥面BAD；
（Ⅱ）当cosθ为何值时，AB⊥CD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FB与平面BAD所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）可以先证明△ABD为等边三角形，从而可得BD⊥AE，BD⊥EF，根据线面垂直的判定可得BD⊥面AEF，进而根据面面垂直的判定可得面AEF⊥面BCD．同理面AEF⊥面BAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可得∠AEF为二面角A-BD-C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，从而当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cosθ的值；
（Ⅲ）过F作FG⊥AE交AE的延长线于G点，由（Ⅰ）面AEF⊥面BAD，则FG⊥面BAD，故∠FBG就是FA与平面BAD所成角，在三角形FBG中，可求∠FBG的正弦值．
证明：（Ⅰ）在△ABC中，由∠ACB=30°，得．
由D为AC的中点，得．∴△ABD为等边三角形
则BD⊥AE，BD⊥EF，
∴BD⊥面AEF，
又∵BD⊂面BCD，∴面AEF⊥面BCD．
同理面AEF⊥面BAD…
（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可得∠AEF为二面角A-BD-C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．
∵面AEF⊥面BCD，∴O在FE上，连BO交CD延长线于M，
当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，
∴O为翻折前的等边三角形△ABD的中心．
则，．
因此当时，AB⊥CD．…（7分）
（Ⅲ）过F作FG⊥AE交AE的延长线于G点，由（Ⅰ）面AEF⊥面BAD，则FG⊥面BAD
故∠FBG就是FA与平面BAD所成角
设AB=a，则；
而，
故
所以
即FB与平面BAD所成角的正弦值为…（12分）