Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求三棱锥A-BDE的体积；
（Ⅱ）求证：B₁D₁⊥AE；
（Ⅲ）求证：AC∥平面B₁DE．

Answer

（I）根据正方体的几何特征，我们易得三棱锥A-BDE的体积等于三棱锥E-ABD，根据已知中正方体的棱长AA1=2，E为棱CC1的中点，求分三棱锥的底面积和高，即可得到三棱锥A-BDE的体积；
（Ⅱ） 连接A1C1，根据正方形对角线互相平分可得B1D1⊥A1C1，由正方体的几何特征可得B1D1⊥CC1，进而由线面垂直的判定定理得到B1D1⊥面A1C1CA，再由线面垂直的性质定理得到B1D1⊥AE；
（Ⅲ） 证法一：连接AC1，取AC1的中点为H，取AC的中点O，连接HO，根据平行四边形判定定理可得四边形HOCE为平行四边形，则AC∥HE，进而根据线面平行的判定定理得到AC∥平面B1DE；
证法二：延长BC与B1E延长线交于F，连DF，根据三角形全等的判定定理可得△B1C1E≌△FCE，进而证得ADFC为平行四边形，则AC∥DF，进而根据线面平行的判定定理得到AC∥平面B1DE．
【解析】
（Ⅰ）∵EC⊥平面ABD，
∴V=CE．SABD=…4分
证明：（Ⅱ）连接A1C1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中
B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，A1C1∩CC1=C1
∴B1D1⊥面A1C1CA，
AE⊂面A1C1CA
∴B1D1⊥AE…8分
（Ⅲ）证法一：连接AC1，取AC1的中点为H，取AC的中点O，连接HO，
∵HO∥EC且HO=EC
∴四边形HOCE为平行四边形，OC∥HE即AC∥HE---------13’
连接BD1，易知四边形A1BCD1为平行四边形，则H为BD1和A1C的交点
∴HE⊂平面B1DE
AC⊄平面B1DE
AC∥平面B1DE…12分
证法二：延长BC与B1E延长线交于F，连DF∵E为棱CC1中点
∴△B1C1E≌△FCE
∴CF=C1B1=CB
∴CF∥AD且CF=AD
∴ADFC为平行四边形
∴AC∥DF∵AC⊄平面B1DE
DF⊂平面B1DE
∴AC∥平面B1DE…12分．