Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=4．
（I） 求及；
（II） 证明f（x）是周期函数；
（Ⅲ）若对任意，都有f（x）＞1，证明函数f（x）在上为增函数．

Answer

（I）由已知中对任意，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），且f（1）=4．我们先令x1=x2=，求出f（），再令x1=x2=，即可求出；
（II）由已知中f（x）的图象关于直线x=1对称，且f（x）是定义在R上的偶函数，故f（x）=（2-x），且f（-x）=f（x），进而可得f（x）=f（2+x），即证出函数f（x）是周期为2的周期函数；
（Ⅲ）由对任意，都有f（x）＞1，设任意x1，x2∈[0，]，且x1＜x2，令x2-x1=a，则0＜a＜，根据对任意，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），易证得．进而根据函数单调性的定义得到答案．
【解析】
（I）∵x1，x2∈[0，]都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），
∴f（x）=f（）f（）≥0，x∈[0，1]
f（1）=f（+）=f（）•f（）=[f（）]2
f（）=f（+）=f（）•f（）=[f（）]2，f（1）=4，
∴．（注：在[0，]上）…（4分）
证明：（II）依题设y=f（x）关于直线x=1对称，
∴f（x）=f（2-x），
∴f（-x）=f（2+x）         …（6分）
又∵f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）=f（2+x），…（8分）
∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．…（10分）
（Ⅲ）设任意x1，x2∈[0，]，且x1＜x2，令x2-x1=a，则0＜a＜，
∴f（x2）=f（x1+a）=f（x1）•f（a）…（13分）
∴
又∵对任意，都有f（x）＞1，
∴f（a）＞1
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在[0，]上单调增．…（16分）