Question

设函数f （x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使成立，则称函数f （x）在D上均值为C，给出下列四个函数①y=x³，②y=4sinx，③y=lgx，④y=2^x，
则满足在其定义域上均值为2的函数是     ．

Answer

首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使成立的函数．
对于函数①y=x3，可直接取任意的x1∈R，验证求出唯一的，即可得到成立．
对于函数②y=4sinx，因为y=4sinx是R上的周期函数，明显不成立．
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．
对于函数④y=2x，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．
【解析】
对于函数①y=x3，取任意的x1∈R，=2，，可以得到唯一的x2∈D．故满足条件．
对于函数②y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x2∈D，使成立．故不满足条件．
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使成立．故成立．
对于函数④y=2x定义域为R，值域为y＞0．对于x1=3，f（x1）=8．要使成立，则f（x2）=-4，不成立．
故答案为①③．