Question

在等比数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁＞1，公比q＞0．设b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求{b_n}的前n项和S_n及{a_n}的通项a_n；
（3）试比较a_n与S_n的大小．

Answer

（1）由题设知bn+1-bn=log2=log2q为常数．所以数列{bn}为等差数列且公差d=log2q．
（2）根据题设条件先求首项和公差及公比．然后再求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an．
（3）根据题设条件分情况讨论，能够比较an与Sn的大小．
（1）证明：∵bn=log2an，
∴bn+1-bn=log2=log2q为常数．
∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q．
（2）【解析】
∵b1+b3+b5=6，∴b3=2．
∵a1＞1，∴b1=log2a1＞0．
∵b1b3b5=0，∴b5=0．
∴解得
∴Sn=4n+×（-1）=．
∵∴
∴an=25-n（n∈N*）．
（3）【解析】
显然an=25-n＞0，当n≥9时，Sn=≤0．
∴n≥9时，an＞Sn．
∵a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=，a7=，a8=，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4，
∴当n=3，4，5，6，7，8时，an＜Sn；
当n=1，2或n≥9时，an＞Sn．