Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若x₁，x₂∈（0，+∞），且，求证：f（x₁）•f（x₂）≥1．

Answer

（1）根据当x∈R时x≤f（x）恒成立． 令x=1，即可求得；
（2）根据f（1）=1，f（-1）=0，可得方程组，利用 x∈R时，f（x）≥x恒成立，可得，借助于基本不等式可得∴．从而可求函数的解析式；
（3））利用条件，x1，x2∈（0，+∞），借助于基本不等式，可得（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=3x1x2+1≥4．从而得解．
【解析】
（1）∵x≤f（x）
∴当x=1时．1≤f（1）．
∴f（1）=1．
（2）由（1）知a+b+c=1，又f（-1）=0，∴a-b+c=0
从而，又x∈R时，f（x）≥x恒成立．
即ax2+（b-1）x+c≥0，故
∴
∴c＞0    而
∴
∴
∴a=c=．∴．
（3）∵，x1，x2∈（0，+∞），
∴x1+x2=2x1x2
∴ （当且仅当x1=x2=1时取等号）
∴
∴x1x2≥1．
又（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=3x1x2+1≥4．
∴f（x1）•f（x2）= （当且仅当x1=x2=1时取等号）