Question

已知椭圆与双曲线共焦点，点P是该椭圆与双曲线在第一象限的公共点，如果以椭圆的右焦点为焦点，以y轴为准线的抛物线恰过P点，那么椭圆的离心率e₁与双曲线的离心率e₂之间的关系为（ ）
A．e₂-e₁=1
B．e₁+e₂=2
C．
D．

Answer

设椭圆及双曲线的半焦距为c，左右焦点分别为F1、F2，P点的坐标为（x，y）．根据圆锥曲线的共同定义，则对于椭圆而言：PF1=a1+e1x，PF2=a1-e1x，对于双曲线而言：PF1=e2x+a2，PF2=e2x-a2，对于抛物线而言：PF2=x，从而建立a1-e1x=e2x-a2=x，消去x化简即得答案．
【解析】
设椭圆及双曲线的半焦距为c，左右焦点分别为F1、F2，P点的坐标为（x，y）．
则对于椭圆而言：PF1=a1+e1x，PF2=a1-e1x，
对于双曲线而言：PF1=e2x+a2，PF2=e2x-a2，
对于抛物线而言：PF2=x，
∴a1-e1x=e2x-a2=x，
∴消去x得：⇒e2-e1=1．
故选A．